Top-k 问题

question

给定一个长度为 n 的无序数组 nums ，请返回数组中最大的 k 个元素。

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

方法一：遍历选择

我们可以进行下图所示的 k 轮遍历，分别在每轮中提取第 、2、、k 大的元素，时间复杂度为 O(nk) 。

此方法只适用于 的情况，因为当 k 与 n 比较接近时，其时间复杂度趋向于 O(n^2) ，非常耗时。

TIP

当 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

方法二：排序

如下图所示，我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 k 个元素，时间复杂度为 O(n \log n) 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需找出最大的 k 个元素即可，而不需要排序其他元素。

方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-k 问题，流程如下图所示。

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前 k 个元素依次入堆。
3. 从第 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 k 个元素。

基于堆寻找最大的 k 个元素

示例代码如下：

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.offer(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

总共执行了 n 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 k ，因此时间复杂度为 。该方法的效率很高，当 k 较小时，时间复杂度趋向 O(n) ；当 k 较大时，时间复杂度不会超过 O(n \log n) 。

另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大的 k 个元素的动态更新。