桶排序

前述几种排序算法都属于“基于比较的排序算法”，它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越 O(n \log n) 。接下来，我们将探讨几种“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性阶。

桶排序（bucket sort）是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。

算法流程

考虑一个长度为 n 的数组，其元素是范围 内的浮点数。桶排序的流程如下图所示。

1. 初始化 k 个桶，将 n 个元素分配到 k 个桶中。
2. 对每个桶分别执行排序（这里采用编程语言的内置排序函数）。
3. 按照桶从小到大的顺序合并结果。

代码如下所示：

java

/* 桶排序 */
void bucketSort(float[] nums) {
    // 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
    int k = nums.length / 2;
    List<List<Float>> buckets = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        buckets.add(new ArrayList<>());
    }
    // 1. 将数组元素分配到各个桶中
    for (float num : nums) {
        // 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
        int i = (int) (num * k);
        // 将 num 添加进桶 i
        buckets.get(i).add(num);
    }
    // 2. 对各个桶执行排序
    for (List<Float> bucket : buckets) {
        // 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
        Collections.sort(bucket);
    }
    // 3. 遍历桶合并结果
    int i = 0;
    for (List<Float> bucket : buckets) {
        for (float num : bucket) {
            nums[i++] = num;
        }
    }
}

javaScript

/* 桶排序 */
function bucketSort(nums) {
    // 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
    const k = nums.length / 2;
    const buckets = [];
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        buckets.push([]);
    }
    // 1. 将数组元素分配到各个桶中
    for (const num of nums) {
        // 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
        const i = Math.floor(num * k);
        // 将 num 添加进桶 i
        buckets[i].push(num);
    }
    // 2. 对各个桶执行排序
    for (const bucket of buckets) {
        // 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
        bucket.sort((a, b) => a - b);
    }
    // 3. 遍历桶合并结果
    let i = 0;
    for (const bucket of buckets) {
        for (const num of bucket) {
            nums[i++] = num;
        }
    }
}

算法特性

桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

• 时间复杂度为 ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 。假设排序单个桶使用 时间，则排序所有桶使用 时间。当桶数量 k 比较大时，时间复杂度则趋向于 O(n) 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 时间。在最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 O(n^2) 时间。
• 空间复杂度为 、非原地排序：需要借助 k 个桶和总共 n 个元素的额外空间。
• 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。

如何实现平均分配

桶排序的时间复杂度理论上可以达到 O(n) ，关键在于将元素均匀分配到各个桶中，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中，但商品价格分布不均，低于 100 元的非常多，高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 个，各个桶中的商品数量差距会非常大。

为实现平均分配，我们可以先设定一条大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等。

如下图所示，这种方法本质上是创建一棵递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。

如果我们提前知道商品价格的概率分布，则可以根据数据概率分布设置每个桶的价格分界线。值得注意的是，数据分布并不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。

如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，这样就可以合理地设定价格区间，从而将商品平均分配到各个桶中。